Линейная алгебра Примеры

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 0 & 1 & 2 & 0 & - 7 0 & 0 & 0 & 1 & 7 0 & 0 & 0 & 0 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & - 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 \end{array}]$

Этап 1

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Multiply each element of

R_{4}

$R_{4}$ by

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ to make the entry at

4, 5

$4, 5$ a

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Multiply each element of

R_{4}

$R_{4}$ by

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ to make the entry at

4, 5

$4, 5$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 0 & 1 & 2 & 0 & - 7 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & - 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} \end{array}]$

Этап 1.1.2

Упростим

R_{4}

$R_{4}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 0 & 1 & 2 & 0 & - 7 0 & 0 & 0 & 1 & 7 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & - 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 0 & 1 & 2 & 0 & - 7 0 & 0 & 0 & 1 & 7 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & - 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.2

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 7 R_{4}

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{4}$ to make the entry at

3, 5

$3, 5$ a

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 7 R_{4}

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{4}$ to make the entry at

3, 5

$3, 5$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 0 & 1 & 2 & 0 & - 7 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 & 1 - 7 \cdot 0 & 7 - 7 \cdot 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & - 7 \\ 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 & 1 - 7 \cdot 0 & 7 - 7 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.2.2

Упростим

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 0 & 1 & 2 & 0 & - 7 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & - 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 0 & 1 & 2 & 0 & - 7 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & - 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} + 7 R_{4}

$R_{2} = R_{2} + 7 R_{4}$ to make the entry at

2, 5

$2, 5$ a

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} + 7 R_{4}

$R_{2} = R_{2} + 7 R_{4}$ to make the entry at

2, 5

$2, 5$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 0 + 7 \cdot 0 & 1 + 7 \cdot 0 & 2 + 7 \cdot 0 & 0 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 \\ 0 + 7 \cdot 0 & 1 + 7 \cdot 0 & 2 + 7 \cdot 0 & 0 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3.2

Упростим

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 0 & 1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 0 & 1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & - 14 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.4

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} + 14 R_{4}

$R_{1} = R_{1} + 14 R_{4}$ to make the entry at

1, 5

$1, 5$ a

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} + 14 R_{4}

$R_{1} = R_{1} + 14 R_{4}$ to make the entry at

1, 5

$1, 5$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 14 \cdot 0 & 0 + 14 \cdot 0 & - 5 + 14 \cdot 0 & 0 + 14 \cdot 0 & - 14 + 14 \cdot 1 0 & 1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 14 \cdot 0 & 0 + 14 \cdot 0 & - 5 + 14 \cdot 0 & 0 + 14 \cdot 0 & - 14 + 14 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.4.2

Упростим

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2

The pivot positions are the locations with the leading

$1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions:

$a_{11}, a_{22}, a_{34},$ and

$a_{45}$

Pivot Columns:

$1, 2, 4,$ and

$5$